一维谐振子链的总体行动若何用升降算符形貌 ？声子是甚么，它是张背一种着实存在的粒子吗 ？若何确凿地清晰量子力学中的波粒二象性？7月30日12时 ，《张背阴的物理物理课》第一百六十二期开播 ，搜狐独创人 、课初董事局主席兼CEO 、探固体中物理学博士张背阴坐镇搜狐视频直播间 ，粒象先带巨匠温习了若何在一维谐振子链上界说升降算符 ，甚声并用其改写零星的张背哈密顿量 ，而后子细合计了升降算符的物理对于易关连，并依此验证了升算符会将零星激发到更高的课初能级 。
类比光子的探固体中行动，张背阴将这种激发好比为升算符在零星中发生了一个“声子” 。粒象在品评辩说金属晶体等固体时 ，甚声声子可能以为是张背晶格高频总体振荡展现出的粒子性 ，是物理一种“准粒子”；相同 ，假如晶格总体振荡频率较低，它可能类似地典型的机械波模子形貌 ，此即波粒二象性在谐振子链上概况说固体中的展现 。
一维谐振子链上的升降算符
谐振子是一个普遍的 、简洁但绝不重大的物理模子 。事实上 ，当咱们审核做作界中失调点临近受微扰熏染的零星时 ，其中绝大部份可能以一个或者多少多个谐振子来类似形貌 。一个特意乐成的例子是在固体物理中 ，咱们可能将金属原子的宏不雅排布抽象为一系列点阵 ，其中某一点处原子在某种熏染下偏离失调点一段距离后，所受到的相互熏染即可用谐振子势来类似形貌 。更重大地 ，咱们可能将其抽象为一个等距排布的一维谐振子链 。
在前多少节直播课上 ，张背阴环抱这一谐振子链模子 ，分说从典型与量子的角度睁开了详尽的品评辩说 。运用格点傅里叶变更 ，张背阴乐成地在“ k 空间”上将谐振子链的哈密顿量按方式分解为
其中
这里各方式对于应的能量 ，概况说色散关连为
同时，咱们取无穷纲化的“虚位移” ξ(k) 及其正则动量 π(k) 为逍遥度 ，它们都黑白厄米算符，但知足恒等关连
下文中，不致混合时 ，咱们约定将略去加诸算符上的 hat 与 tilde 旗号 ，以及（对于第一布里渊区的）积分与（对于部份整数的）求以及的高下限 ，之后退文章的可读性。
在上节课中 ，咱们已经证实两算符之间知足对于易关连
类比单个谐振子，可能在每一个方式分说界说升降算符
同样可能问它们之间的对于易关连 。首先可能合计到，按界说以及运用对于易括号的线性性
运用 ξ 以及 π 的对于易关连 ，不美不雅出服从中的前两项为 0 。而后两交织项中 ，运用了恒等关连 (1) 可能将第一项化简为
对于第二项 ，首先可能运用对于易括号的反对于称性 ，有
不难发现 ，两交织项实际上只相差一个负号 ，即有
同理，不难患上到两个升算符之间
相似地 ，咱们还可能合计
其中咱们一再用到了恒等关连 (1)，以将对于易括号转变为咱们已经知的方式 。可能看到 ，升降算符之间再也差迟易 ，适宜咱们从品评辩说单体谐振子行动中患上到的履历 。
在上一节课中已经证实 ，单个方式的哈密顿量可能用升降算符改写为
与单体谐振子的服从差距 ，单个方式的哈密顿量中即有前向转达的成份（以 k 为参数） ，又有反向转达的成份（以 -k 为参数） 。侥幸的是 ，假如思考部份的哈密顿量
事实上咱们可能重新整理与并吞两项。留意到 ，第二项可能运用换元
患上到
最后一个等号仅是标志上的改写 。以是 ，服从上
可能重新界说一个适宜的“微分哈密顿量” ，记为
它即与单体谐振子的哈密顿量有简直不同的方式 ，便于下面不断睁开品评辩说 。
（张背阴以升降算符改写零星哈密顿量）
升降算符的熏染与方式激发
接下来的要问的下场是 ，咱们所界说的“升降算符” ，是否货真价实 ，可能在零星中激发概况湮灭一个谐振子方式、提升以及飞腾能谱一个量子化地能级 ？更松散地表白 ，张背阴愿望可能证实 ，相似于单体谐振子的天气，假如有某本征态知足
则
也是微分哈密顿量的本征态 ，且对于应本征值量子数为 λ + 1 。
为了证实这一点 ，咱们将“微分哈密顿量”熏染到升算符熏染后患上到的态上
先看第一项中的算符运算 ，运用升降算符的对于易关连 ，有
而第二项
两服从中，第一项的括号偏偏分说对于应“微分哈密顿量”的中两项 ，而第二项坚持不同。于是将两式相加有
不才面的服从中，咱们碰着了 δ(0) 。按 Dirac-δ 函数的界说 ，在这一点上取值将发散到无穷大 ，并非是个精采界说的量 。与其相对于的是所谓的 Kronecker-δ 旗号
两者差距在于 δ(k-k') 作为函数可能不断取值 ，即 k 以及 k' 之间的距离 Δk 可能取无穷小 ，其价钱即是在两点残缺重适时函数取值发散到无穷大 ，给咱们的品评辩说带来了难题 。而 Kronecker-δ 旗号则否则 ，它是离散化的 ，要求两点之间有最小的距离 ，两点重适时取值依然有限 。凭证前面课程的教学，咱们意见到 ，参数 k 的不断取值源于咱们在思考一个无穷长的谐振子链 。可是 ，张背阴揭示 ，做作界中并不存在“无穷长”，惟独“短缺长” 。一个“短缺长”的谐振子链对于应到“ k 空间”上 ，其参数理当坚持分立取值 ，即 Dirac-δ 理当视为用 Kronecker-δ 旗号在距离取极限 Δk → 0 后的重大记法。同时 ，“短缺长”概况，假如咱们专一于思考模子中段部份的行动 ，可能临时地漠视领土效应带来的影响 ，前面的品评辩说依然是精确的 。
凭证这个思绪 ，咱们可能思考一个 N 个谐振子组成的 ，长度为 d 、点距离为 l 的谐振子链 。对于应地 ，转换到“k 空间”上 ，参数取值理当有距离
于是
其中 ，N 是一个可调的零星参数，当 N 饶富大时 ，由于咱们已经漠视领土效应 ，它的取值不应影响合计服从 。换句话说，可能在上述合计中 ，将 Dirac-δ 函数以“有限长度类似”替换为
（更严厉地表述是 ，将参数 k 离散化后 ，理当重新界说升降算符以将参数 N 罗致到界说去 ，使患上物理的服从做作地不依赖于该参数）运用这个代换 ，可能患上到
这个服从表明，经由升算符地熏染后患上到的新态矢是对于应量子数 λ + 1 的本征态
同样的措施可能证实降算符熏染后
而基态的界说即是某个“降无可降”的态，即要求知足等式
运用在单个谐振子的品评辩说中患上到的履历 ，咱们可能这样清晰升降算符的意思 。给定波数 k 对于应的激发方式存在一系列的分立能级 。升算符熏染到基态上 ，将零星激发到第一激发态上 ，零星能量对于应削减一个单元 。与光子作比力 ，咱们可能以为，这种零星能量按确定最小单元的削减是由于咱们在零星种引入了某种“粒子” 。这种粒子对于应的是晶格概况说一维谐振子链上的某种振荡方式 ，因此被称之为“声子”。更术语化的表白 ，声子是在晶格总体行动中发生的一种准粒子（Quasi-particle），自己具备玻色子的性子 。
（张背阴验证升算符激发零星形态到更高能级）
机械波仍是粒子 ？谐振子链上的波粒二象性
在咱们临时回到在“q 空间”中表白的哈密顿量
其中势能的第一部份是一个将点粒子约束在特定某点上的时长 ，而第二项是临近粒子间的相互熏染 。对于一个着实存在的金属晶体，在空间上并不会有个特定的点 ，让其中某个原子只能约束在某个位置——那样致使咱们无奈挪移转移这样一块晶体 。因此在思考对于晶体部份建模时，理当有
即惟独要思考临近粒子间的相互熏染 。
另一方面 ，回顾以前咱们对于液氦的处置 ，事实上咱们取的是
但此时留意咱们的模子关注的是零星中单个 ，但具备代表性的 ，粒子的行动——而不是整块晶体的总体熏染 。对于单个粒子而言 ，它将感受到的是此外粒子配合组成的部份的相互熏染概况说势场 ，是对于零星的一个更简陋的形貌 。
回到对于谐振子链的品评辩说 ，假如咱们以为它是在对于一个着实存在的金属晶体的建模 ，色散关连理当改写为
其简陋的函数图像如图所示。
不美不雅到 ，函数对于 k = 0对于称，无妨临时聚焦于 k > 0部份 。在波数 k 很小时 ，有
此时各简正方式
即为类正弦晃动 ，有
即相速率与群速率坚持不同 。这种长程的、能量较低的方式 ，可能以为对于是固体中机械波的转达历程形貌 。即它形貌的理当是固体中的声波 ，对于应的速率是固体中的声速
临近相互熏染的频率与晶格的劲度系数以及原子品质相关
前者可能经由波恩-奥本海默类似合计患上到 ，即给以了咱们一种将实际合计服从与详细试验相对于照的道路。
另一方面 ，当方式能量较高 ，波数取值挨近到第一布里渊区边缘
时 ，方式的群速率挨近于
即这样一个高频方式“简直不转达”。此时 ，这种晃动方式的波长挨近于晶格长度，以是这种振动难以跨域晶格向前转达 ，其行动反却是像一个被困在了晶格中的粒子 。此时咱们说，不如称之为它形貌了固体中的一个声子 。量子力学中的波粒二象性（Wave-particle duality）在对于固体总体行动的品评辩说中展现患上舒畅淋漓 ！
（张背阴合成晶格低频振动展现的晃动性）
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